Яке співвідношення невизначеності для основного стану гармонічного осцилятора?

Коротка відповідь. Енергію основного стану квантового гармонічного осцилятора можна оцінити за допомогою принципу невизначеності Гейзенберга як E m i n = 1 2 ℏ ω , де – приведена стала Планка, а – кутова частота гармонічного осцилятора.

Нас просять використовувати співвідношення невизначеності, Δx Δp ≥ ħ, для оцінки енергії основного стану гармонійного осцилятора. Деталі розрахунку: припустимо, що похибка в положенні електрона дорівнює Δx приблизно x = 0. Тоді похибка його імпульсу становить Δp = ħ/Δx щодо p = 0.

У цьому випадку LHS читається як ⟨E⟩. якщо ви хочете отримати мінімальну енергію, все, що вам потрібно зробити, це замінити принцип невизначеності, Δp=ℏ/(2Δx), у рівняння (1) і мінімізувати енергію відносно Δx, тобто встановивши похідну рівною нулю: d⟨E⟩d(Δx)=0. Ви отримаєте результат: (Δx)2=ℏ2mω.

Принцип невизначеності — це сукупність пов’язаних результатів, які надають сенсу наступному твердження: неможливо зосередити масу функції та її перетворення Фур'є одночасно.

По-перше, основний стан квантового осцилятора E0=ℏω/2, а не нуль. У класичному розумінні найменша енергія дорівнює нулю. Відсутність стану з нульовою енергією є спільним для всіх квантово-механічних систем через всюдисущі флуктуації, які є наслідком принципу невизначеності Гейзенберга.