Що таке диференціальне рівняння для поліномів Лагерра?

Розв’язування рівняння Лагерра n=0. Тобто замість того, щоб розв’язувати рівняння для загального значення n, ми розв’яжемо його спочатку для n=0, потім для n=1 і так далі. Почнемо з n=0. Тоді диференціальне рівняння набуває вигляду: xy″+y′−xy′=0.3 липня 2024 р

Тут ми бачимо, що лівий ряд – це ряд типу 1F1(a;c;x), де p=−λ і q= 1. Отже, розв’язок диференціального рівняння Лагерра 1F1(−λ; 1; x). xy”+(α+ 1 −x)y+λy = 0.

Диференціальне рівняння повинно бути поліноміальне рівняння в похідних для ступеня, який потрібно визначити. Приклад 1: d 4 y d x 4 + ( d 2 y d x 2 ) 2 – 3 d y d x + y = 9. Тут показник степеня похідної вищого порядку дорівнює одиниці, а дане диференціальне рівняння є поліноміальним рівнянням у похідних.

Ln(x) = ex dn dxn (xne−x) ми отримуємо перші кілька поліномів Лагерра наступним чином: L0(x) = ex 0! (x0e−x)=1, L1(x) = ex 1! d dx (xe−x) = ex(e−x – xe−x)=1 – x, L2(x) = ex 2! d2 dx2 (x2e−x) = 1 2!

Коефіцієнти цього степеневого ряду визначаються так званим індиціальним рівнянням. Для диференціального рівняння Лагерра після застосування методу Фробеніуса та узгодження коефіцієнтів однакових степенів індиціальне рівняння r ( r − 1 ) + r + λ = 0 виникає.

Однак диференціальне рівняння, розглянуте Лагуерром у 1879 році, має розв’язок, подібний до (1): u(x)=n∑k=0(nk)xkk!,n=0,1,2,…. xy″+(α+1−x)y′+λy=0,y(0)<∞.