Чи ортогональні власні вектори нормальної матриці?

Якщо два власні значення нормальної матриці різні, то відповідні власні вектори є ортогональними, тобто 0. §Доведення: припустимо, що власні вектори x і y мають власні значення λ і µ відповідно. Якщо всі власні значення нормальної матриці різні, то всі власні вектори взаємно ортогональні.

Якщо v є власним вектором для AT і якщо w є власним вектором для A, і якщо відповідні власні значення різні, то v і w повинні бути ортогональними. Звичайно, у випадку симетричної матриці AT = A, тому це означає, що власні вектори для A, які відповідають різним власним значенням, повинні бути ортогональними.

загалом, для будь-якої матриці власні вектори НЕ завжди ортогональні. Але для особливого типу матриці, симетричної матриці, власні значення завжди дійсні, а власні вектори, що відповідають окремим власним значенням, завжди ортогональні.

Нехай x1 і x2 — два власні вектори, що відповідають двом різним власним значенням λ1 і λ2. 1 x2) = 0, тому вони ортогональні. Якщо матриця A розміром n × n є симетричною, її власні вектори v1,··· ,vn можна вибрати як ортонормовані. Якщо він має n різних власних значень, то n власних векторів є ортогональними.

Нормальний вектор A Це означає, що вектор A ортогональний до площини, що означає, що A ортогональна до кожного напрямного вектора площини. Ненульовий вектор, ортогональний напрямним векторам площини, називається вектором нормалі до площини. Таким чином вектор коефіцієнтів A є вектором нормалі до площини.