Який найкращий метод розв’язання диференціального рівняння?

Ми можемо розв’язати ці диференціальні рівняння за допомогою прийому інтегруючого множника. Ми множимо обидві частини диференціального рівняння на коефіцієнт інтегрування I, який визначається як I = e∫ P dx. ⇔ Iy = ∫ IQ dx, оскільки d dx (Iy) = I dy dx + IPy за правилом добутку.

Методи Ейлер і Рунге-Кутта є найвідомішими серед чисельних методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь. Метод Ейлера має повільну збіжність; тому часто використовуються методи більш високого порядку точності. Існують різні модифікації методу Ейлера для підвищення його точності.

HOWTO: Процедура розв’язування точного рівняння (Метод 1)

• Перевірте, чи рівняння M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. …
• Проінтегрувати ∂F(x,y)∂x=M(x,y) …
• Продиференціюйте рівняння 2.5. …
• Прирівняйте праву частину цього рівняння до N і розв’яжіть для ϕ′; таким чином, ∂G(x,y)∂y+ϕ′(y)=N(x,y), тому ϕ′(y)=N(x,y)−∂G(x,y)∂y.

Теорема. Загальний розв’язок ОДЗ a(x) d2y dx2 + b(x) dy dx + c(x)y = f(x) є y = CF + PI, де CF — загальний розв’язок однорідної форми a(x) d2y dx2 + b(x) dy dx + c(x)y = 0, який називається додатковою функцією, а PI — будь-який розв’язок повного ОДУ, який називається окремим інтегралом .

Єдині випадки, коли диференціальні рівняння будуть значно складнішими за обчислення, це якщо: а) ви все ще не вмієте обчислювати інтеграли та похідні, а ваша алгебра ДУЖЕ застаріла та б) якщо курс диференціальних рівнянь у вашому університеті зосереджений на теорії розв’язків. .