Які можливі порядки підгруп S4?
підгрупи S4 з S4 повинні бути породжені деякою підмножиною цих елементів і повинні мати
(http://
/OrderGroup), що ділить 24, тому має бути один із 1,2,3,4,6,8 1, 2, 3, 4, 6, 8 або 12 .22 березня 2013 р
максимальні підгрупи мають порядок 6 (S3 в S4), 8 (D8 в S4) і 12 (A4 в S4). Є чотири нормальні підгрупи: ціла група, тривіальна підгрупа, A4 в S4 і нормальна V4 в S4.
У всьому ми бачимо, що є 30 різні підгрупи S4, розділені на 11 класів спряженості та 9 типів ізоморфізму.
(a) Можливі типи циклів елементів у S4: ідентичність, 2-цикл, 3-цикл, 4-цикл, добуток двох 2-циклів. Вони мають порядки 1, 2, 3, 4, 2 відповідно, тому можливі порядки елементів у S4 такі 1, 2, 3, 4.
Підгрупи. Є 30 підгруп S4, включаючи саму групу та 10 малих підгруп. Кожна група має стільки малих підгруп, скільки нейтральних елементів на головній діагоналі: тривіальна група та двоелементні групи Z2.
Група A4 має порядок 12, тому її підгрупи можуть мати розмір 1, 2, 3, 4, 6 або 12. Є підгрупи порядків 1, 2, 3, 4 і 12, але A4 не має підгрупи порядку 6 (еквівалентно, немає підгрупи з індексом 2).
Загалом, порядок будь-якої підгрупи G розділяє порядок G. Точніше: якщо H є підгрупою G, то. ord(G) / ord(H) = [G : H], де [G : H] називається індексом H у G, цілим числом. Це теорема Лагранжа.