Як обчислити коефіцієнт кривизни?

На щастя, існує альтернативна формула для кривизни, яка часто простіша за ту, яку ми маємо: κ=|r′(t)×r″(t)||r′(t)|3.

Поширені запитання щодо формули радіуса кривини Радіус кривини кривої y= f(x) у точці дорівнює (1+(dydx)2)3/2|d2ydx2| (1 + (d y d x) 2) 3/2 | d 2 y d x 2 | . Це величина, зворотна кривизні K кривої в точці. R = 1/K, де K — кривизна кривої, а R — радіус кривизни кривої.

Загалом формальне визначення кривизни непросте у використанні, тому є дві альтернативні формули, які ми можемо використовувати. Ось вони. κ=∥∥→T′(t)∥∥∥∥→r′(t)∥∥κ=∥∥→r′(t)×→r′′(t)∥∥∥∥→r′(t) ∥∥3.

Щоб виміряти кривизну в точці, потрібно знайдіть коло, яке найкраще відповідає цій точці. Це називається оскулюючим (поцілунковим) колом. Кривизна кривої в цій точці визначається як величина, зворотна радіусу окружного кола.

Якщо v ≠ 0 є дотичним вектором (не обов’язково одиничної довжини), покажіть, що нормальна кривина M у напрямку v є k = ( v ) = S ( v ) ⋅ v / v ⋅ v .

Нехай κ1 і κ2 — головні кривизни ділянки поверхні σ(u, v). Гаусова кривина σ дорівнює K = κ1κ2, а її середня кривина дорівнює H = 1 2 (κ1 + κ2).